Factorizacion lu[1]
- 1. FACTORIZACION LU DANIEL FERNANDO RODRIGUEZ ARIAS UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER INGENIERIA DE PETROLEOS SEXTO SEMESTRE 2010 FACTORIZACION LU
- 2. DANIEL FERNANDO RODRIGUEZ ARIAS Trabajo de Métodos Numéricos en Ingeniería Ing. EDUARDO CARRILLO
- 3. UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER INGENIERIA DE PETROLEOS SEXTO SEMESTRE 2010 INTRODUCCIÓN La factorización LU de una matriz es una factorización que resume el proceso de eliminación gaussiana aplicado a la matriz, y que es conveniente en términos del número total de operaciones de punto flotante cuando se desea calcular la inversa de una matriz o, cuando se resolverá una serie de sistemas de ecuaciones con una misma matriz de coeficientes. En la lectura, primeramente consideraremos la factorización LU
- 4. sin intercambio, basada en matrices elementales y que es conocida como de Doolittle y posteriormente veremos el algoritmo que da la factorización PA = LU. FACTORIZACION LU
- 5. La factorización LU, es una forma de factorización de una matriz como el producto de una matriz triangular inferior y una superior. Debido a la inestabilidad de este método, por ejemplo si un elemento de la diagonal es cero, es necesario premultiplicar la matriz por una matriz de permutación. Método llamado factorización PA = LU o LU con pivote. Esta descomposición se usa en el análisis numérico para resolver sistemas de ecuaciones (más eficientemente) o encontrar las matrices inversas. PROCESO: Suponga que la matriz A es una matriz m × n que se puede escribir como el producto de dos matrices: A = LU Donde L es una matriz triangular inferior m×m y U es una matriz escalonada m×n. L(low) Matriz Triangula Inferior U(up) Matriz Escalonada Entonces para resolver el sistema: Ax = b, escribimos: Ax = (LU) x = L (Ux) Una posible estrategia de solución consiste en tomar y=Ux y resolver para y: Ly=b
- 6. Como la matriz L es triangular superior, este sistema puede resolverse mediante sustitución hacia abajo. Una vez con los valores encontrados de y, las incógnitas al sistema inicial se resuelve despejando x de Ux = y. Nuevamente, como U es escalonada, este sistema puede resolverse en caso de tener solución mediante sustitución hacia atrás, lo cual es sencillo. Estas observaciones nos dan la pauta para ver la conveniencia de una factorización como la anterior, es decir factorizar A como el producto de una matriz L triangular superior, por otra U la cual es escalonada. Esta factorización se llama usualmente Descomposición LU. USO DE LA FACTORIZACIÓN LU Use la factorización LU de A: 4 −2 1 1 0 0 4 −2 1 A = 20 −7 12 = 5 1 0 0 3 7 = LU −8 13 17 −2 3 1 0 0 −2 para despejar x del sistema: 11 Ax = 70 = b 17 Solución Sea y = (y1, y2, y3) un nuevo vector de incógnitas. Primero resolveremos el sistema triangular inferior Ly = b:
- 7. 1 0 0 11 5 1 0 Y = 70 −2 3 1 17 Este sistema escrito en su forma de ecuaciones queda: y1 = 11 5 1+ y 2 y = 70 −2 1 + 3 2+ y 3 = 17 y y Por eliminación directa de la: • Primera ecuación: y1 = 11, • Segunda ecuación: y2 = 70 − 5 y1 = 70 − 5 (11) = 15, • Y de la tercera: y3 = 17 + 2y1 − 3 y2 = 17 + 2 (11) − 3 (15) = −6. Ahora el sistema Ux = y: 4 −2 1 11 0 3 7 X = 15 0 0 −2 −6 El cual escrito en su forma de ecuaciones queda: 4x 1 − 2 2 + x 3 = 11 x 3 2 + 7x 3 = 15 x −2 3 = −6 x
- 8. El cual al ser resuelto por sustitución hacia atrás queda: • De la ultima ecuación: x3 = 3, • Segunda ecuación: x2 = 5 − 7/3 x3 = 5 − 7/3 (3) = −2, • Y de la primera: x1 = 11/4 + 1/2x2 − 1/4 x3 = 11/4 + 1/2 (−2) − 1/4 (−3) = 1 OBTENCION DE LA FACTORIZACION LU Ejemplo 1. Considere el sistema de ecuaciones: 2 1 + 3 2 + 4x 3 = 6 x x 4x 1 + 5 2 + 10x 3 = 16 x 4x 1 + 8x 2 + 2 3 = 2 x Cuya matriz de coeficiente es 2 3 4 A = 4 5 10 4 8 2 Su factorización LU es:
- 9. 1 0 0 2 3 4 L = 2 1 0 y U= 0 −1 2 2 −2 1 0 0 −6 Utilizando la ecuación (3): Ly=b 1 0 0 y 1 6 2 1 0 y 2 = 16 2 −2 1 y 2 3 2 1 + 3 2 + 4x 3 = 6 x x 4x 1 + 5 2 + 10x 3 = 16 x b 4x 1 + 8x 2 + 2 3 = 2 x Por sustitución hacia adelante tenemos: y1=6 y 2 = 16 − 2 1 = 4 y y 3 = 2 + 2 2 − 2 1 = −2 y y Así que: 6 y = 4 −2 Ahora resolvemos: Ux=y 2 3 4 x 1 6 0 −1 2 x 2 = 4 0 0 −6 x −2 3 Así que:
- 10. x 3 = 0.333 4− 2 3 x x2 = = −3.333 −1 6 − 4x 3 − 3 2 x x1 = = 7.333 2 Finalmente, la solución para el sistema lineal dado es: x 3 = 0.333 4− 2 3 x 7.333 x2 = = −3.333 −1 x = −3.333 6 − 4x 3 − 3 2 x 0.333 x1 = = 7.333 2 Ejemplo 2. 1. Paso de descomposición LU: se factoriza en las matrices triangulares inferior y superior . 2. Paso de sustitución: se usan para determinar una solución para un lado derecho este paso, a su vez se divide en dos. Primero: Se usa para generar un vector intermedio mediante sustitución hacia adelante. Segundo: El resultado se sustituye en , la que se resuelve por sustitución hacia atrás para Después de la eliminación hacia adelante se obtuvo la siguiente matriz triangular superior
- 11. Los factores empleados para obtener la matriz triangular superior pueden montarse en una matriz triangular inferior. Los elementos a21 y a31 fueron eliminados usando los factores: Y el elemento a’32 se elimina al usar el factor: Así la matriz triangular inferior es En consecuencia, la descomposición LU es El resultado se verifica al realizar la multiplicación de que da Donde las pequeñas diferencias son debidas a errores de redondeo.